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数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。 その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。 == 定義 == 有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象''X''について''X''と直積を取る関手''X'' × -: E→Eに右随伴関手(-)''X'': E→Eが存在する事をいう。 例えば集合の圏''Sets''や有限集合の圏''FinSets''はカルテシアン閉だが位相空間の圏''Top''はカルテシアン閉でない。 一般に圏 E の対象''A''の部分対象とはコドメインが''A''であるモノ射の同型類の事を言う。モノ射の引き戻しがモノ射になる事から、引き戻しを持つ圏Eについて各対象''X''に''X''の部分対象を与える関手''Sub''(-):Eop→''Sets''が定義される。圏Eの部分対象分類子(subobject classifier)とは、この関手を表現する対象の事をいう。 圏 E は(初等)トポス(elementary topos)であるとは、Eがカルテシアン閉で部分対象分類子を持つ事をいう。 たとえば、''Sets'' や''FinSets''は部分対象分類子として二点集合を持つのでトポスになる。 EとF がトポスのとき、関手 ''f'' *: E → F と完全関手 ''f'' *: F → E の対 (''f'' *, ''f'' *)で随伴関係 ''f'' * ⊣ ''f'' *をみたすものはE から F へのトポスの射（geometric morphism）とよばれる。このときf *はfの直像部分、f *はfの逆像部分とよばれる。随伴性によりトポスの射の直像部分は左完全な関手になる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「トポス (数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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